- PII
- S0044466925010047-1
- DOI
- 10.31857/S0044466925010047
- Publication type
- Article
- Status
- Published
- Authors
- Volume/ Edition
- Volume 65 / Issue number 1
- Pages
- 36-49
- Abstract
- In the rectangle Ω = {(x, t) | 0 < x < 1, 0 < t < T} the initial boundary value problem for the singularly perturbed parabolic equation ε2 (︂ a2 ∂2u ∂x2 − ∂u ∂t )︂ = F(u, x, t, ε), (x, t) ∈ Ω, u(x, 0, ε) = φ(x), 0 ≤ x ≤ 1, u(0, t, ε) = ψ1(t), u(1, t, ε) = ψ2(t), 0 ≤ t ≤ T. is considered. It is assumed that at the angular points (k, 0) of the rectangle Ω, where k = 0 or 1, the function F(u) = F(u, k, 0, 0) takes the form F(u) = u3 − u30 , где u0 = u0(k) < 0. The nonlinear method of angular boundary functions is used to construct the asymptotics of the solution to the problem. Earlier, we considered the case when the boundary value of φ at the angular points is separated from the inflection point u = 0 by the condition u0(k) < φ(k) ≤ u0(k) 2 < 0, at which functions of the “simplest” form suitable in the entire domain in question fitted to the role of barrier functions. In this work, the case u0(k) 2 < φ(k) < 0 is considered, where the domain has to be divided into parts, the barrier functions have to be constructed in each subdomain taking into account their continuous junction at the common boundaries of the subdomains, and then the piecewise continuous lower and upper solutions have to be smoothed. As a result, a complete asymptotic expansion of the solution when ε → 0 is obtained and its uniformity in the closed rectangle is justified.
- Keywords
- пограничный слой асимптотическое приближение сингулярно возмущенное уравнение
- Date of publication
- 17.09.2025
- Year of publication
- 2025
- Number of purchasers
- 0
- Views
- 21
References
- 1. Бутузов В.Ф. Асимптотика решения разностного уравнения с малыми шагами в прямоугольной области // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 12.№3. 1972. С. 582–597.
- 2. Бутузов В.Ф., Нестеров А.В. Об одном сингулярно возмущенном уравнении параболического типа // Вестн. Московского университета. Сер. 15: Вычисл. матем. и кибернетика. 1978.№2. С. 49–56.
- 3. Денисов И.В. Угловой пограничный слой в краевых задачах для сингулярно возмущенных параболических уравнений с квадратичной нелинейностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 57.№2. 2017. С. 255–274.
- 4. Денисов И.В. Угловой пограничный слой в краевых задачах для сингулярно возмущенных параболических уравнений с монотонной нелинейностью // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 58.№4. 2018. С. 575–585.
- 5. Денисов А.И., Денисов И.В. Угловой пограничный слой в краевых задачах для сингулярно возмущенных параболических уравнений с нелинейностями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 59.№1. 2019. С. 102–117.
- 6. Денисов А.И., Денисов И.В. Угловой пограничный слой в краевых задачах для сингулярно возмущенных параболических уравнений с немонотонными нелинейностями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 59.№9. 2019. С. 1581–1590.
- 7. Денисов И.В. Угловой пограничный слой в краевых задачах для сингулярно возмущенных параболических уравнений с кубическими нелинейностями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 61.№2. 2021. С. 256–267.
- 8. Денисов И.В. Угловой пограничный слой в краевых задачах с нелинейностями, имеющими стационарные точки // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 61.№11. 2021. С. 1894–1903.
- 9. Денисов А.И., Денисов И.В. Нелинейный метод угловых пограничных функций в задачах с кубическими нелинейностями // Чебышёвский сб. Т. 24. Вып. 1 (88). Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н. Толстого, 2023.
- 10. Нефедов Н.Н. Метод дифференциальных неравенств для некоторых сингулярно возмущенных задач в частных производных // Дифференц. ур-ния. Т. 31.№4. 1995. С. 719–723.
- 11. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. школа, 1990.
- 12. Amann H. On the Existence of Positive Solutions of Nonlinear Elliptic Boundary Value Problems // Indiana Univ. Math. J. 1971. V. 21.№2. P. 125–146.
- 13. Sattinger D.H. Monotone Methods in Nonlinear Elliptic and Parabolic Boundary Value Problems // Indiana Univ. Math. J. 1972. V. 21.№11. P. 979–1000.
- 14. Amann H. Nonlinear Analysis: coll. of papers in honor of E.H. Rothe / Ed. by L. Cesari et al. New York etc: Acad press, cop. 1978. XIII. P. 1–29.
- 15. Денисов И.В. Первая краевая задача для линейного параболического уравнения в пространстве Rn+1 + // Дифференц. ур-ния. Т. 34.№12. 1998. С. 1616–1623.
