Статьи автора

НЕЛИНЕЙНЫЙ МЕТОД УГЛОВЫХ ПОГРАНИЧНЫХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ ВЛИЯНИЯ ТОЧКИ ПЕРЕГИБА

Номер выпуска 1 от 17.09.2025

В прямоугольнике Ω = {(x, t) | 0 < x < 1, 0 < t < T} рассматривается начально-краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения ε2 (︂ a2 ∂2u ∂x2 − ∂u ∂t )︂ = F(u, x, t, ε), (x, t) ∈ Ω, u(x, 0, ε) = φ(x), 0 ≤ x ≤ 1, u(0, t, ε) = ψ1(t), u(1, t, ε) = ψ2(t), 0 ≤ t ≤ T. Предполагается, что в угловых точках (k, 0) прямоугольника Ω, где k = 0 или 1, функция F(u) = F(u, k, 0, 0) имеет вид F(u) = u3 − u30 , где u0 = u0(k) < 0. Для построения асимптотики решения задачи используется нелинейный метод угловых пограничных функций. Ранее был рассмотрен случай, когда граничное значение φ в угловых точках отделено от точки перегиба u = 0 условием u0(k) < φ(k) ≤ u0(k) 2 < 0, при котором на роль барьерных подошли функции "простейшего" вида, пригодные сразу во всей рассматриваемой области. В настоящей работе рассматривается случай u0(k) 2 < φ(k) < 0, при котором область приходится разбивать на части, в каждой подобласти строить свои барьерные функции с учетом их непрерывной стыковки на общих границах подобластей, а затем проводить сглаживание кусочно-непрерывных нижних и верхних решений. В результате получается полное асимптотическое разложение решения при ε → 0 и обосновывается его равномерность в замкнутом прямоугольнике. Библ. 15.

18 0